korunum yasalarını ifade eden hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin süreksiz zayıf çözümlerinin fiziksel gerçeklikle ilişkisini kuran koşuldur.
hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin ifadelerinde çözümün zamana (t) ve uzaya (x) göre türevleri bulunur. herhangi bir u(x,t) fonksiyonunun diferansiyel denklemi (klasik anlamda) sağlaması ve bu diferansiyel denklemin bir çözümü olarak adlandırılması ancak bu fonksiyonun x ve t'ye göre her noktada türevlenebilir olması halinde mümkündür. fakat ilgilendiğimiz hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerini her zaman türevlenebilir kabul etmek pek mümkün değildir. örneğin uzayda türevlenebilir bir başlangıç koşulu (t=0) ile başlatılan doğrusal olmayan bir hiperbolik kısmi diferansiyel denklemin (örn: viskoz olmayan burgers' denklemi) zaman içindeki çözümü uzayda türevlenemeyen bir fonksiyona gidebilir. bu durumda ilgili diferansiyel denklem türevin alınamadığı noktalarda sağlanmaz.
bu gibi durumlarda matematikçiler iki yol izler: birinci yol diferansiyel denklemin türev gerektirmeyen integral formuna geri dönmektir. ikinci yol da diferansiyel deklemin zayıf çözümlerini aramaktır. zayıf çözüm yönteminde diferansiyel denklemi sağlama koşulları esnetilerek süreksizlik içerdiği için türevlenemeyen fonksiyonlar da çözüm kümesine dahil edilir. matematikçiler çoğunlukla henüz sebebini tam anlamadığım şekilde birinci yol yerine ikinci yol olan zayıf çözüm yolunu tercih etmektedir.
zayıf çözüm kavramı ile süreksiz fonksiyonların çözüm olabilmesine olanak tanınabilse da, bunun yan etkisi olarak aynı diferansiyel denklemin birden fazla zayıf süreksiz çözümü ortaya çıkabilir. fiziksel gerçeklik tabii ki tek olması gerektiği için (umarım!), bu matematiksel çözümlerden hangisinin fiziksel gerçekliğe uyduğunun belirlenmesi gerekir. lax entropi koşulu bu görevi gören koşullardan biridir.
u_t + ( f(u) )_x = 0
şeklinde skaler bir hiperbolik kısmi diferansiyel denklem için diyelim ki uzayda bir noktada ul değerinden ur değerine atlayan süreksiz bir zayıf çözüm olsun. lax entropi koşulu bu zayıf çözümün
f'(ul) > s > f'(ur)
koşulu sağlandığında fiziksel gerçekliğe uygun olduğunu söyler. burada s değeri ul'den ur'ye olan süreksizliğin rankine-hugoniot atlama koşulu kullanılarak bulunabilen uzayda ilerleme hızıdır.
vektör hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin her modu için lax entropi koşulu
lambda_i(ul) > s > lambda_i(ur)
dir. burada lambda_i(u) akı fonksiyonu f(u)'nun jacobian'ının i'inci özdeğerini temsil etmektedir. s değeri yine ilgili süreksizliğin rankine-hugoniot atlama koşulu tarafından verilen uzayda ilerleme hızıdır. lax entropi koşulu kısaca süreksizlik boyunca (ul'den ur'ye geçerken) ilgili modun özdeğerinin düşmesini ve süreksizlğin uzaydaki ilerleme hızının bu özdeğer düşüşü aralığında bulunmasını gerektirir. (burada da görüldüğü gibi vektör ve doğrusal olmayan durumda bir moddaki süreksizliğin uzaydaki ilerleme hızı olan s değeri, zannedildiği gibi (bkz: kendimden biliyorum), o modun özdeğerine eşit olmak zorunda değildir. zaten özdeğerin hangi değerine eşit olsun ki, süreksizliğin solundakine mi sağındakine mi?)
yukarıda verilen koşullar şok dalgalarının uzayda bozunmadan ilerleyebilme koşuludur. şok dalgalarına ek olarak hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin doğrusal bozunmuş (bkz: linearly degenerate) temas süreksizliği (bkz: contact discontinuity) içeren çözümleri de kapsanmak istendiğinde bu koşullar
f'(ul) >= s >= f'(ur)
lambda_i(ul) >= s >= lambda_i(ur)
şeklinde eşitlikleri de içermelidir. bu koşullar sağlanmadığında ilgili süreksizlik uzayda bozunmadan ilerleme yerine, bir seyrekleşme dalgasına (bkz: rarefaction) dönüşür ve ilgili çözüm zaman geçtikçe uzayda sürekli hale evrilir.
temas süreksizliği durumunda bu koşullar eşitlikle sağlanır, yani
f'(ul) = s = f'(ur)
lambda_i(ul) = s = lambda_i(ur)
bu durumda süreksizlik boyunca ilgili modun özdeğeri sabit kalır. doğrusal hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerde akı fonksiyonunun jacobian'ı (u'ya göre) sabit olduğundan çözümlerde çıkabilecek tüm süreksizlikler temas süreksizliği olup bu koşulları sağlar. işte ancak bu durumda kesin olarak süreksizliğin uzayda ilerleme hızının ilgili modun özdeğerine eşit olduğu söylenebilir.