vize dönemi yaklaşıyormuş. hemen calculus a yeni başlayan öğrencilere yol göstermesi açısından altı yılda zorla verdiğim bu derste belirsiz integral alma yöntemlerine kısaca değineyim ki okuyan olursa yardımcı olsun. hemen calculusta karşılaşılabilecek soru tiplerinden basitten zora doğru incelemeler yapalım
polinom fonksiyonlar: efenim toplama veya çıkarma biçimindeki polinom fonksiyonlar en basit sorulardır elbette. atıyorum örneğin 2x^2 + 5x^3 + 8 gibi bir fonksiyonun integrali, değişkenin kuvvetini bir arttırıp ardından da o arttırılan sayıya bölerek bulunur. örnekteki polinoma bakacak olursak 2/3x^3 + 5/4x^4+8x + c şeklinde bir çözüm buluruz. en basit integral tipidir bu. o yüzden üzerinde daha fazla durmaya değmeyeceği için geçiyorum. bunları yapamıyorsanız sınava girmeyin zaten boşu boşuna klşdskfsşdlaflkas
trigonometrik fonksiyonlar: bunları oturup ezberleyebilirsiniz. bunun yanı sıra sadece bir iki tanesini bilerek diğerlerini kendiniz de çıkartabilirsiniz. öğrencilik hayatım boyunca bildiğim tek trig fonksiyon sin(x) in türevinin cos(x) olduğuydu. buradan yola çıkarak, integralin de türevin tersi olduğunu bilerek cos(x) in integralinin sin(x), sin(x) in integralinin de –cos(x) olduğunu rahatça çıkartabilirsiniz. tan(x) içinse şöyle bakmak gerek;
tan(x)=sin(x)/cos(x) olduğuna göre eğer cos(x)’e u dersek du/dx=-sin(x) olur. du ise du=sin(x)dx olur. o halde pay kısmı paydanın türevi olduğunu görebiliyoruz ve denklemi u cinsinden tekrar yazalım;
integral(-du/u) oldu. bunun da çözümünün –ln(u)+c olduğunu biliyoruz. u’yu yerine yazarsak çözümün –ln(cos(x))+c olduğunu görüyoruz. aynı şekilde cot(x) i de hesaplayabilirsiniz. sınavlarda en çok çıkanlar, tan(x), sin(x), cos(x) ve sec(x) fonksiyonlarıdır. sec(x)’in de tanjant fonksiyonu ile yakın bir ilişkisi olduğundan sıkça çıkar.
trigonometrik integralleri hesaplarken aklınızda tutmanız gereken bazı liseden kalma denklemlerimiz var. bu denklemlerle değişken değiştirerek denklemi basit hale indirgemeye çalışmak ana amaçtır. bunlar;
cos^2(x) + sin^2(x)=1
sin2x=2sin(x)cos(x) (burada birbirinin türevi olan iki ifade görüyoruz. değişken değiştirmek için en ideal hal.)
sec^2(x)=1+ tan^2(x)
tan^2(x)=sec^2(x)-1
tan(x)’in türevi sec^2 tir.
en çok bu değişkenlerle karşılaşırız. görüldüğü üzere değişken değiştirerek tan(x)’ten sec(x) e ulaşabilirsiniz.
e^x fonksiyonları= bilindiği üzere e^x in türevi de integrali de yine e^x’tir. eğer x’in önünde bir çarpan varsa denklemde de e^ax’in yanında ax’in türevine denk gelebilecek çarpanlar bulunur. bu durumda ax=u denerek çözüme gidilir.
ters trigonometrik fonksiyonlar: gözlemlerime ve tecrübelerime dayanarak bu dersi alan öğrencileri en çok zorlayan tipte fonksiyonlar bunlar oluyor genelde. bir kere paydada karekök görünce insanın gözü korkuyor arkadaş. genelde paydada karekök, ve karekökün içerisinde de üslü ifadeler görüldüğünde büyük ihtimal çözüm yolu ters trigonometrik fonksiyonlardan geçer. arcsin(x) ve arctan(x) en çok karşılaşılanlarıdır bunların genelde.
örneğin geçenlerde rastladığım bir probleme bakalım;
integral(1/sqrt(3-2x^2)dx) gibi bir soru. baktığınız zaman zaten bunun çözüm yolunun trigonometik fonksyonlardan geçtiği görülebiliyor. bunu anlamak ise daha önce anlattığımız yollardan biriyle çözülemiyor olması. payda, paydanın türevi olabilecek bir çarpan yok dolayısıyla değişken değiştirme işe yaramaz. denklemi birkaç parçaya bölüp de basitleştirmek de mümkün değil. o halde çözüm yüksek ihtimal trigonometriden geçiyor. hemen temel eşitlikleri hatırlamak gerekiyor burada.
cos^2(x) + sin^2(x)=1 …. ve diğerleri
yukarıdaki temel denklemden atıyorum cos^2(x) i yalnız bırakırsanız cos^2(x)=1-sin^2(x) olur. bu yeni bulduğumuz eşitlik, orijinal sorudaki karekök içerisindeki ifadeye biraz daha benziyor şimdi. eğer 3 yerine 1 koyabilirsek çok daha fazla benzetebileceğiz. o halde 3-2x^2 ifadesini 3 parantezine alalım ki elimizde 1- g(x) gibi bir ifade olsun. o halde yeni ifade;
3(1-2/3x^2) oldu. bu denklem 1-sin^2(x) e epeyce benziyor şimdi iyice benzetmek için bir değişken değiştirme yaparsak;
2/3x^2=sin^2(a) dersek ve yerine koyarsak karekök içindeki ifade ya da genel olarak orijinal soru şu halde dönmüş olacak
integral(dx/sqrt(3(1-sin^2(a)))
şimdi x li değişkenleri yok edip yerlerine a değişkenleri koymaya çalıştığımız için dx’i de da cinsinden yazmamız gerekiyor. yazalım;
2/3x^2=sin^2(a) demiştik. kareköklerini alırsak
sqrt(2/3)x=sin(a) olur. bu denklemden a’yı çekebiliriz.
a=arcsin(sqrt(2/3)x) olur.
dx i de bulalım.
x=sqrt(3/2)sin(a)
dx=sqrt(3/2)cos(a) da olur.
şimdi tüm soru a cinsinden tekrar yazılabilir ahle geldi. yazalım hemen;
integral(sqrt(3/2)cos(a)da/sqrt(3(1-sin(a))) oldu. en baştaki karekökleri direk integralin dışına alalım ki karışıklık olmasın.
sqrt(3/2)integral(cos(a)da/sqrt(3(1-sin^2))) oldu.
hemen temel denklemde 1-sin^2(a) yerine direk cos^2(a) yazılabilir. hatırlayın
cos^2=1-sin^2 demiştik. o halde;
sqrt(3/2)integral(cos(a)da/sqrt(3cos^2(a))) şeklinde yazabiliriz. paydadaki karekökü açarsak dışarıya cos(a) ve sqrt(3) çıkar. karekök 3 ü interalin dışına lırsak oradaki kök 3 ile de bölünür ve yeni ifade şöyle olur;
sqrt(1/2) integral(cos(a)da/cos(a))
e buradan cosinus fonksiyonlar sadeleştirilir ve inegralli ifadenin içinde sadece da kalır.
bunun integralini almak artık çok kolay. integrali alınırsa;
sqrt(1/2)a + c olur. fakat çözüm x cinsinde olması gerektiğinden hemen a’yı x li ifadeye dönüştürüyoruz ki yukarıda dönüştürmüştük.
a=arcsin(sqrt(2/3)x) bulmuştuk. o halde a yerine bu ifadeyi yazıp çözümü sunuyoruz.
görüldüğü gibi temel trignometrik denklemler akılda tutulduğu zaman çözüm epeyce basite indiregenebiliyor. eğer paydada bir sabitsayı ve x’in karesi varsa büyük ihtimalle trigonometric identities kullanılarak o integral çözülecektir. akılda kalması gereken trigonometric identities
cos^2(x)+sin^2(x)=1
1+tan^2(x)=sec^2(x)
tan(x)’in türevinin de sec^2(x) olduğudur. genelde bu eşitlikler sınavda problemlerin çözümünde yardımcı olurlar.
kareyi tamamlayıp ters trigonometri kullanmak: bazen paydadaki ifadeler tam kare olmaya çok yakındır fakat tam kare değildir. örneğin; x^2 + 6x + 5 gibi bir ifade olsun. bu ifade (x+c)^2 haline getirilebilir. (x+c)^2 liseden bilindiği üzere x^2 + 2xc + c^2 ifadesine eşittir. denklemde x^2 var eğer 6x=2xc dersek de c’nin 3 olduğunu buluruz. o halde bunun tam kare olabilmesi için x^2+6x+5 değil de x^2+6x+9 olması gerek. eğer ifadeye 4 ekleyip çıkartırsak bir şey değişmeyeceği için bu ifade (x+3)^2 - 4 şeklinde yazılabilir. ardından da yukarıda bahsettiğim gibi ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak çözülebilir.
parçalı integral = öncelikle parçalı derken neyin kastedildiğinden bahsedeyim. iki adet fonksiyonun çarpımını düşünelim ve bunlara u ile v diyelim.bu iki fonksiyonun çarpımının türevi bilindiği üzere, birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birincidir. yani eşitlik halinde yazılırsa;
d(u v) =vdu + udv şeklindedir. burada çözmek istenilen integral vdu şeklinde yazılabiliyorsa;
integra(vdu)=u.v – integral(udv) şekline çevrilebilir. burada her kısmın integralini alıp çözmek istenilen integrali yalnız bırakmak şeklinde eşitliğe ulaşılıyor. akabinde bu eşitlikte u, v, du ve dv leri yerine koyarak çözüme ulaşılabiliyor.
burada önemli olan neye v neye du denileceğidir. eşitliğin sol tarafında v nin türevi alınacağından dv’nin daha basit olacağı fonksiyona v demek mantıklıdır. yani x’in üstel bir fonksiyonu varsa ona v demek çok mantıklı ki eşitliğin sağ tarafındaki integrale üstü bir azalmış biçimde sokulabilsin.
bu tür fonksiyonlarda bazen sağ taraftaki integralde başlanılan ifadeye ulaşılır. bu tür iterasyonu sağlayan fonksiyonlar, türevi ve integrali birbirine dönüşen fonksiyonlar ile türevi ve integrali eşit olan fonksiyonlardır. örneğin e^xsin(x)dx in integralini almaya çalışınca bahsedilen denklemde önce e^xcos(x) e ardından da e^xsin(x) e yeniden ulaşılır. bu durumda integrale i derseniz ve eşitliğin diğer tarafına atarsanız denklemi dört işlem ile çözebilirsiniz.
şimdilik aklıma gelenler bunlar. hepinizi öperim sevgili calculus öğrencileri.